Vorstellung des Binärsystems

Gegen Ende der 30er Jahre bewies Claude Shannon, dass es möglich ist, mit Schaltern, die entweder geschlossen für « wahr » oder offen für « falsch » sind, logische Operationen durchzuführen, wenn man die Ziffern 1 und 0 so zuordnet, dass 1 für « wahr » und 0 für « falsch » steht.

Diese Form der Informationscodierung heißt Binärsystem. Computer funktionieren mit diesem Code. Es werden zwei Zustände (dargestellt durch die Ziffern 0 und 1) verwendet, um Informationen zu codieren.

Seit 2000 vor Christi Geburt rechnen die Menschen mit 10 Ziffern (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), man spricht dann von einer Dezimalbasis (oder Basis 10). Bei älteren Zivilisationen, aber auch einigen modernen Anwendungen, wurden hingegen immer schon andere Rechenbasen verwendet :

• Sexagesimal-Basis (60), verwendet von den Sumerern. Diese Basis wird auch im modernen Zeitsystem verwendet, für Minuten und Sekunden ;
• Vigesimal-Basis (20), verwendet von den Mayas ;
• Duodezimal-Basis (12), wurde von den Angelsachsen bis 1960 bei ihrem Geldsysten verwendet : ein « Pfund » entsprach zwanzig « Shilling » und ein« Shilling » entsprach zwölf « Pences ». Das moderne Studensystem basiert auch auf 12 Stunden (vor allem bei der amerikanischen Schreibweise) ;
• Quinärbasis (5), verwendet von den Mayas ;
• Binärbasis (2), verwendet von allen digitalen Technologien.

Das Bit

Der Begriff Bit (abgekürzt als kleingeschriebenesb ) bedeutet « binary digit », also die Binärziffer 0 oder 1. Es ist die kleinste Informationseinheit, die eine digitale Maschine bearbeiten kann. Diese binäre Information lässt sich physisch darstellen :

• durch ein elektrisches oder magnetisches Signal, das ab einer bestimmten Schwelle dem Wert 1 entspricht ;
• durch geometrische Unebenheiten einer Oberfläche ;
• durch Flipflops, das sind elektrische Schalter, die zwei Gleichgewichtszustände haben (einer entspricht dem Zustand 1, der andere 0).

Ein Bit kann daher zwei Zustände annehmen : 1 oder 0. Mit 2 Bits lassen sich dann 4 verschiedene zustände erhalten (2*2) :

Mit 3 Bits lassen sich acht verschiedene Zustände erhalten (2*2*2) :

Für eine Gruppe von n Bits lassen sich 2ⁿ Werte darstellen.

Poids des bits

In einer Binärzahl hängt der Wert eines Bits, genannt Zustand, von der Position des Bits ab, von rechts beginnend. Wie bei Zehnern, Hundertern und Tausendern im Dezimalsystem steigt der Wert eines Bits von rechts nach links immer um dem Wert 2, wie in der folgenden Tabelle dargestellt :

Umwandlung

Um eine binäre Zeichenfolge in Dezimalzahl umzuwandeln, muss man lediglich den Wert jedes Bits mit dessen Zustand multiplizieren, und dann die Ergebnisse addieren. So ist der dezimale Wert des Binärstrings 0101  :

23x0 + 22x1 + 21x0 + 20x1
= 8x0 + 4x1 + 2x0 + 1x1
= 5

Das Byte

DasByte (abgekürzt als großgeschriebenes B ) ist eine Informationseinheit, die aus 8 Bits besteht. Damit kann beispielsweise ein Zeichen gespeichert werden - wie ein Buchstabe oder eine Ziffer.

Das Bilden von Achter-Gruppen von Zahlen erleichtert die Lesbarkeit, so wie das Bilden von Dreier-Gruppen im Dezimalsystem das Erkennen der Tausender erleichtert. Die Zahl « 1 256 245 » ist beispielsweise besser lesbar als « 1256245 ».

Eine Informationseinheit, die aus 16 Bits besteht, nennt man in der RegelWort (auf Englischword).

Eine Informationseinheit mit einer Länge von 32 Bits nennt manDoppelwort (auf Englischdouble word, daher die Bezeichnungdword).

Die kleinste Zahl für ein Byte ist 0 (dargestellt durch acht Nullen 00000000), und die größte ist 255 (dargestellt durch acht Mal die Ziffer « eins » 11111111), so gibt es 256 verschiedene mögliche Werte.

KiloBytes, MegaBytes

In der Informatik wurden lange Zeit andere Werteinheiten verwendet als die des metrischen Systems (auch bekannt als Internationales Einheitssystem). Viele Informatiker haben deswegen gelernt, dass 1 KiloByte 1024 Byte entspricht. Deswegen hat sich im Dezember 1998 das internationale Normungsgremium IEC eingeschaltet (http://physics.nist.gov/cuu/Units/binary.html). Die standardisierten Einheiten sind wie folgt  :

• Ein Kilobyte (kB) = 1000 Bytes
• Ein Megabyte (MB) = 1000 kB = 1 000 000 Bytes
• Ein Gigabyte (GB) = 1000 MB = 1 000 000 000 Bytes
• Ein Terabyte (TB) = 1000 GB = 1 000 000 000 000 Bytes

Achtung ! Einige Softwareprogramme (sogar manche Betriebssysteme) verwenden immer noch die ältere Notation, für die gilt : Ein Kilobyte (kB) = 210 Bytes = 1024 Bytes Ein Megabyte (MB) = 220 Bytes = 1024 kB = 1 048 576 Bytes Ein Gigabyte (GB) = 230 Bytes = 1024 MB = 1 073 741 824 Bytes Ein Terabyte (TB) = 240 Bytes = 1024 GB = 1 099 511 627 776 Bytes

Die IEC hat außerdem noch Binärkilo (kibi), Binärmega (Mébi), Binärgiga (Gibi) und Binärtera (Tebi) festgelegt.
Sie sind folgendermaßen definiert :

• Ein Kibibyte (kiB) entspricht 2¹⁰ = 1024 Bytes
• Ein Mebibyte (MiB) entspricht 2²⁰ = 1 048 576 Bytes
• Ein Gibibyte (GiB) entspricht 2³⁰ = 1 073 741 824 Bytes
• Ein Tebibyte (TiB) entspricht 2⁴⁰ = 1 099 511 627 776 Bytes

Des weiteren lässt sich anmerken, dass in manchen Sprachen andere Begriffe verwendet werden, als das Englische « byte », diese werden dann auch anders abgekürzt. International werden allerdings die englischen Abkürzungen für Kilobyte, Megabyte, Gigabyte und Terabyte verwendet, nämlich :

kB, MB, GB, TB

Wichtig ist die Verwendung des großgeschriebenB um zwischenByte undBit zu unterscheiden.

Dies ist ein Screenshot der SoftwareHTTrack, der bekannteste Offline-Browser, auf dem die Verwendung dieser Notation ersichtlich wird :

Rechenoperationen im Binärsystem

Einfache arithmetische Operationen wie die Addition, Substraktion und Multiplikation können im Binärsystem leicht durchgeführt werden.

Die Addition im Binärsystem

Additionen im Binärsystem erfolgen nach denselben Regeln wie im Dezimalsystem :
Man rechnet zunächst die Bits mit niedrigem Zustand zusammen (die rechten), wenn die Summe zweier Bits desselben Zustands den Wert der größten Einheit übersteigt (im binären Fall : 1), wird der übersteigende Wert zum Bit mit dem nächstgrößeren Zustan mitgenommen...

Zum Beispiel :

Multiplikationen im Binärsystem

Die Multiplikationstabelle im Binärsystem ist sehr einfach :

• 0x0=0
• 0x1=0
• 1x0=0
• 1x1=1

Multiplikationen werden durchgeführt, indem man das partielle Produkt für jede Stelle des Multiplikators bildet (nur Bits ohne Null ergeben Ergebnisse, die ungleich Null sind). Wenn das Bit des Multiplikators Null ist, ist das partielle Produkt gleich Null, wenn es Eins ist, besteht das partielle Produkt aus dem Multiplikand, der um x Stellen verschoben wird, wobei x dem Zustand des Bits des Multiplikators entspricht.

Zum Beispiel :